\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphics}

\title{Laborationsrapport 6, Tillämpade Numeriska Metoder II 2D1250}
\author{Grupp 12\\Adam Jonsson f99-adj@f.kth.se\\
Arifali Hirji arifali@kth.se}
%\date{14 maj 2003}
\thispagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Uppgift 2}

\subsection{Exakt lösning}
I denna uppgift undersöker vi de svårigheter som uppstår då styva ODEer löses. Systemet i fråga är 
\begin{eqnarray}\frac{\rm dy_{\rm 1}}{{\rm dt}}=y_{2} , \frac{\rm dy_{\rm 2}}{{\rm dt}}=1000y_{\rm 1}-1001y_{\rm 2}
\end{eqnarray} med begynnelsevärden $y_1(0)=1$ och $y_2(0)=-1$ \\
\\
Kravet är att lösningen har $fel<10^{-2}$ , vid $t=1$\\
\\
Vi börjar först visa att systemet har exakt lösning: $y_1=-y_2=e^{-t}$\\
\\
Allmänna lösningen för systemet ser ut så här: $y_1=c_1*\bar{x}_1*e^{\lambda_1 t} + c_2*\bar{x}_2*e^{\lambda_2 t}$\\
där $\lambda_{1,2}=$egevärden $\bar{x}_{1,2}=$egenvektorer och $c_{1,2}=$konst.\\






\begin{figure}[h]
\begin{center}
\scalebox{0.5}{\includegraphics{chipfigur.eps}}
\caption{Genomskärning av chipuppsättning}
\label{Genomskärning av chipuppsättning}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{1b.}

\begin{eqnarray}|y(t_N) - u_N| \approx{Ch^2} , t_N = Nh\end{eqnarray}

\subsection{1c.}

$$y_{n+1}^{(1)}=y_{n}^{(1)} + hy_{n+1}^{(2)} -- (I)$$
$$y_{n+1}^{(2)}=y_{n}^{(2)} + h(-1000y_{n+1}^{(1)} - 1001y_{n+1}^{(2)} -- (II)$$

$\Rightarrow$Stoppar in $(I)\rightarrow(II)\Rightarrow$ och får:

$u_{j}^{n+1}- 2u_{j}^{n} + u_{j}^{n-1}=\lambda^2(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n} + u_{j-1}^{n})$ , där $\lambda=\frac{\Delta t}{\Delta x}$

\section{Vågekvationen}

\subsection{}



\end{document}